Question

三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4.

(1)求cotA+cotC的值;
(2)设向量BA点乘向量BC＝3／2，求a＋c的值．

Answer 1

1.a,b,c成等比数列,所以a*c=b^2
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以sinA=a/b*sinB,sinC=c/b*sinC
cotA+cotC=cosA/sinA+cosC/sinC
=(cosA*sinC+sinA*cosC)/sinA*sinC
=sin(A+C)/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=sinB/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=1/sinB
=4/(根号7）
2.a,b,c成等比数列,设公比为q,
则b=a*q,c=a*q^2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2*a*c
=(a^2+a^2*q^4-a^2*q^2)/2*a*a*q^2
=(1+q^4-q^2)/2*q^2
=3/4
化简为：2*q^4-5*q^2+2=0
解得：q=1/（根号2）,或者q=根号2
向量BA点乘向量BC＝a*c*cosB
=a*a*q^2*cosB
=3/2
将cosB和q代入，解得：a=2，此时q=1/（根号2）,c=1,a+c=3
或者a=1，此时q=根号2,c=2,a+c=3

Answer 2

a,b,c成等比数列，则可表示为a，ar,ar^2
余弦定理：(ar)^2=a^2+(ar^2)^2-2a(ar^2)cosB
整理得2r^4-5r^2+2=0 r=1/√2 或 r=√2
所以三边的比为1:√2:2或者2:√2:1
因此不妨令a为最短边（若令c为最短边，结果一致）
从三角函数关系易得sinB=√7/4
通过正弦定理，sinA=√7/(4√2), sinC=√7/(2√2)
通过余弦定理，或sin^2+cos^2=1可以求出 cosA=5/(4√2), cosC=-1/(2√2)
cotA+cotC=5/√7-1/√7=4/√7

a*c*cosB=3/2 得ac=2, c=2a =>a=1, c=2 a+c=3