Question

高数微分中值定理

已知函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0.求证：存在一点ζ使得f(ζ)+f'(ζ)=0成立

Answer 1

可以证明存在一点ζ使得f(ζ)+ζf'(ζ)=0成立。

追问

大哥能否写下过程
谢谢

追答

令F(x)=xf(x)，在[a,b]上用罗尔定理，还需要写过程吗？

追问

过程倒是不用了，谢谢
再想问一下f(ζ)+f'(ζ)=0为什么可以转化为证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0

追答

不是f(ζ)+f'(ζ)=0可以转化为证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0
是在原题条件下可以证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0
以为是题目打漏字母ζ了

如果确实是证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0，SD_LY_LS的辅助函数F(x)=e^x*f(x) 是对的

追问

题目没打漏
只是不理解为什么证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0
和f(ζ)+ζf'(ζ)=0等价

追答

证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0和f(ζ)+f'(ζ)=0不等价啊
是我以为你题目打漏字母ζ了，以为原题是要证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0呢

证明过程如下：
证明：令F(x)=e^x*f(x)，
则因为f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
所以F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，
由罗尔定理，至少存在一点ζ∈(a,b)使得F'(ζ)=0成立，
而F'(x)= e^x*[f(x)+ f '(x)]，
所以F'(ζ)=0即e^ζ*[f(ζ)+ f '(ζ)]=0，
因为e^ζ≠0，所以成立f(ζ)+ f '(ζ)=0。证毕。

Answer 2

楼上的所做的辅助函数 令F(x)=xf(x) 是不对的
做不出来结果

应该是辅助函数是：令F(x)=e^x*f(x)

追问

能否写一下过程
谢谢

Answer 3

令F(x)=e^x*f(x)
F'(X)=e^x*f(x)+e^x*f '(x);
F'(X)=e^x*(f(x)+f '(x));
F(a)=F(b)=0
由罗耳定理可得，E：ζ，使得F'(X)=0成立；所以：f(ζ)+f'(ζ)=0

追问

f'(a)与f'(b)为什么会相等呢