Question

高等数学，求不定积分

有人说dx可以不要，是历史遗留问题，F'(x)=f(x)，即f(x)的不定积分是F(x)+c，为什么加dx变成∫f(x)dx=F(x)+c，如果不要dx怎么做换元法和分步积分，比如求∫2/(3x+2)，∫xcos x
比如sin'x=cos x，那么∫cos x=sin x+c，不加dx

Answer 1

1.1.1 原函数概念
这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数．
已知                 求
总成本函数              边际成本
C (x)                C(x)
                          ‖
（   ）                MC
(    )= MC
   求                 已知
已知总成本C (x)，求边际成本C(x)，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：
定义1.1 若对任何xD，F(x) = f(x)， 则称F(x)为f(x)的原函数．
我们来看具体的问题：例如
 (x3)= 3x2
F(x)   f(x)
 x3是3x2的原函数．
大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了．
先考虑这样一个问题，的原函数是哪个？
由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是，即它使得成立，我们在下列函数中进行选择：，经验证知和是2x的原函数．
通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．
另外，2x的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个．
再从另一方面提出问题，为哪个函数的原函数？
，说明是的原函数．
同样，，说明是的原函数．
事实上，都是的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．
若都是的原函数，则
证：设，
可知，即
这个结论非常重要，我们已经知道，若是的原函数，则都是的原函数． 而这个结论告诉我们任意
两个原函数之间差一个常数． 所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数．
例1 求的全体原函数．
分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得 到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是．
解：因为 ，所以是的一个原函数．故的全体原函数为
例2 判断是哪个函数的原函数．
分析：看的导函数是哪个函数．
解：因为，所以是的原函数．
1.1.2 不定积分的定义
定义1.2 的所有原函数的全体称为不定积分．记作,其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分符号．
例1 求的全体原函数．
解： 全体原函数就是的不定积分:
例2 求通过点的曲线，使它在点处的切线斜率为．
解：,得到一族曲线:
曲线过点，即，得到:.所求曲线为
导数与不定积分的关系
我们来讨论两个问题，首先,有两个答案给我们选择:
① ②
要求的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是，答案当然是．但另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是
再讨论第二个问题
有三个答案给我们选择
① ② ③
所以正确的选择是
由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算．
求导数求不定积分
求导公式反过来就是积分公式．
例：求．
分析：由微分定义有：
解：由微分定义有，即求．
1.2 积分基本公式
正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的．也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一下导数基本公式
   
   
   
          
　    
将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：
                 
       
              
       
  
以上这些积分基本公式都是需要牢记的．另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数．由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式．
再来说明积分公式
当时，
当x<0时，
将两个结果统一起来就得到积分公式．
说明在积分基本公式中为什么没有的公式．
分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明 ．
说明：在导数公式中是由定义及相关法则直接求得的．而的不定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果， 一般来说也不是一个实用的公式． 所以在积分基本公式中没有公式，类似地原因也没有和．我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系．
1.3.1 不定积分的性质
1. 若是可积函数，则有

2. 若是可积函数，为非0常数，则有，

有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来．例如:

这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法．
例1 求．
解：

例2 求．
解：
例3 求．
解：
例4 已知边际成本为，固定成本为30，求总成本函数．
解：因为，有
,将代入，得，总成本函数为
例5 求．
解：
由变量替换得
注意到，即
若直接计算左端有

用变量替换的方法显然简单得多．
我们再介绍两种计算不定积分的方法．
1．第一换元积分法：
这种方法是将被积函数凑成的形式．或是将凑成
的形式（凑微分）．就是说将被积表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分．而的原函数是已知的或是容易求得的．此时就有
这种方法的关键是将凑出， 且
容易计算． 我们称这种方法为第一换元积分法（也称为凑微分法）．
2．第二换元积分法：
这种方法是将积分变量作变量替换,将被积函数变成的形式．或
即将被积表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分．而的原函数是已知或是容易求得的．此时就有
这种方法的关键是容易计算．我们称这种方法为第二换元积分法．
例1 求．
解：

例2 求．
解：

例3 求．
解：  

例4 求．
解：
例5 求．
解：

例6 计算．
分析：设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换．
解：令，即有,．得
　
例7 计算．
分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．
解：令，．得

（三角公式．）
（三角公式
．）
1.3.4 分部积分法
分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式．
我们来导出分部积分公式
对于这个问题，由导数运算法则容易得到
上式两端积分，得
由积分与导数运算的关系及积分的性质得到
整理后得到，它的另一种形式是：
于是就得到分部积分公式：

分部积分的关键在于
①被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即
（或），可知是的一个原函数．
②利用分部积分公式
它的意义在于将的计算转化为的计算，如果后者的计算比前者简单，这种方法就获得了成功．它将一个较难的积分化为一个较简单的积分．
例1 求．
解：令，（或），（或），

例2 求．
解：令，（或），（或），

例3 求．
解：
令，（或），（或），

例4 求．
解：设，（或），（或），

例5 求．
解：令，（或），（或），

Answer 2

汗。。。怎么可能。。。
∫是微分符号 dx是积分符号
把f(x)微分成许多小段，再积分，才得到F（x）的。

Answer 3

f(x)dx是微分，∫f(x)dx是不定积分，dx不能单独研究

Answer 4

忘了·～～