Question

求几道高数极限题目的解答过程~~越详细越好

万分感谢呀~~

Answer 1

1、lim(x趋于0+)[cosx^（1/2）+x+x^2]^(1/x)=lim(x趋于0+)exp{ln[cosx^（1/2）+x+x^2]/x}
对lim(x趋于0+)ln[cosx^（1/2）+x+x^2]/x应用罗比达法则，分子分母同时求导，
lim(x趋于0+)ln[cosx^（1/2）+x+x^2]/x=lim(x趋于0+)(2x+1-1/2[(sinx^1/2)/x^(1/2)]/[cosx^（1/2）+x+x^2]=1/2
所以lim(x趋于0+)[cosx^（1/2）+x+x^2]^(1/x)=lim(x趋于0+)exp{ln[cosx^（1/2）+x+x^2]/x}
=exp｛lim(x趋于0+)ln[cosx^（1/2）+x+x^2]/x｝=e^(1/2)
2、 lim(x趋于π/2)tanx/tan3x= lim(x趋于π/2)cos3x/sinx*（sinx/sin3x)=-lim(x趋于π/2)cos3x/tanx
应用罗比达法则，分子分母同时求导， -lim(x趋于π/2)cos3x/cosx=-3lim(x趋于π/2)sin3x/sinx=3
所以lim(x趋于π/2)tanx/tan3x=3
3、(sin2x)^6等阶无穷小于(2x)^6=64*x^6,设y=x^3
lim(x趋于0)[e^(x^3)-1-x^3]/(sin2x)^6=lim(y趋于0)(e^y-1-y)/64y^2
应用罗比达法则，分子分母同时求导，
lim(y趋于0)(e^y-1-y)/64y^2=lim(y趋于0)(e^y-1)/128y
再次分子分母同时求导，
lim(y趋于0)(e^y-1)/128y=lim(y趋于0)e^y/128=1/128
所以lim(x趋于0)[e^(x^3)-1-x^3]/(sin2x)^6=1/128