Question

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点。（1）求a^2-4b的最大值。（2）

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点。（1）求a^2-4b的最大值。（2）当a^2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧,),求函数f(x)的表达式。
亲~要详细过程哦~急急急急！！！！！

Answer 1

解：先求得函数f(x)的一阶导数f(x)`=xˆ2+ax+b，x属于R。令f(x)`=0得：
x=[a±根号下（a²-4b）]／2
（1）：依题得函数f(x)在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，也就是说f(x)`=0有实根，而且两实根分别落在区间[-1，1），（1，3]内。可见a²-4b≥0且{-1≤[a－根号下（a²-4b）]／2＜1,1＜[a﹢根号下（a²-4b）]／2≤3}，而且不等式方程组求得的a²-4b的范围不为空集（如果为空集，也就是说a²-4b的值不存在，不符合题意）。
将上述不等式方程组整理得：﹛a²-4b≥0，2-a＜根号下（a²-4b）≤6-a，a-2＜根号下（a²-4b）≤2+a﹜（式1）
因为a²-4b≥0，所以根号下（a²-4b）≥0，同时不等式方程组求得的a²-4b的范围不为空集。可见﹛6-a≥0，2+a≥0，（6-a）＞a-2，2+a＞2-a﹜，（在数轴上可以画出）由此可以求得0＜a＜4。再依据0＜a＜4和（式1）来讨论根号下（a²-4b）的取值范围。
当0＜a＜2时，由式1可以求得:2-a＜根号下（a²-4b）≤2+a；
当a=2时，由式1可以求得:0＜根号下（a²-4b）≤4；
当2＜a＜4时，由式1可以求得:a-2＜根号下（a²-4b）≤6-a。
综上得：根号下（a²-4b）最大可以取到4，此时a=2，则a²-4b最大可以取到16。
所以a²-4b的最大值为16
（2）：f(1)=1／3+(1／2）a+b，f(1)`= 1+a+b，f(x)``=2x+a。
由已知得函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线在点A处穿过函数y=f(x)的图像，同时函数连续，出现这种情况有三种情形：1，点A(1,f(1))是函数的拐点，则f(1)``=2+a=0,算得a=-2，而由（1）得0＜a＜4，可见不满足，舍去；
2，函数在点A(1,f(1))处切线的斜率为0，但不是函数的极值。则1+a+b=0，解方程组﹛1+a+b=0，a²-4b=8﹜得：a=2±2倍根号2，而由（1）得0＜a＜4，可见不满足，舍去；
3，函数在点A(1,f(1))处切线的斜率为无穷大，也即是说函数在点A(1,f(1))处的倒数不存在，即a²-4b＜0，而a²-4b=8，矛盾。
综上得，满足这样的条件的函数不存在！

Answer 2

神啊，，你那x的立方，和x的平方是分子还是分母啊。。。。。

追问

已知函数f(x)=（1/3）x^3+（1/2）ax^2+bx在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点。（1）求a^2-4b的最大值。（2）当a^2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧,),求函数f(x)的

追答

楼下那位写的很有耐心了 挺不错的了。。。

Answer 3