Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且有AF=CE

1.求证：四边形ACEF是平行四边形。
2.当∠B的大小满足甚么条件时，四边形ACEF是菱形。请回答并证明你的结论。
3.四边形ACEF有可能是正方形吗，为什么

Answer 1

 

（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．

 

∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴∠AEC=60°．
∴AC=EC．
∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）解：四边形ACEF不可能是正方形．理由如下：
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ACE一定小于90°
    ∴四边形ACEF不能是正方形

Answer 2

1、证明：因为DE垂直平分BC
所以△CDE与△BDE全等
所以∠ECD=∠EBD,CE=BE
又因为∠B+∠CAB=90°
∠ECD+∠ACE=90°
所以∠EAC=∠ECA
在三角形中，等角对等边
所以EC=EA
因为AF=CE
所以AF=EA
所以∠F=∠AEF
又因为AC与DF平行
所以∠CAE=∠AEF
所以∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA
因为三角形内角和为180°
所以∠FAE=∠AEC
所以AF与CE平行
又因为AF=CE
所以四边形ACEF是平行四边形
2、解：∠B=30°
证明：∠B=30°
所以∠BAC=60°
由1得∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA
所以∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA
∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA=60°
所以三角形ACE与三角形AEF均为等边三角形
所以AF=EF=AE=CE=AC
由1得，四边形ACEF为平行四边形
所以四边形ACEF是菱形
3、四边形ACEF不能是正方形
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE一定小于90°
所以四边形ACEF不能是正方形

Answer 3

2012-12-17 20:11

 

（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．

 

∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴∠AEC=60°．
∴AC=EC．
∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）解：四边形ACEF不可能是正方形．理由如下：
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ACE一定小于90°
    ∴四边形ACEF不能是正方形