Question

如图,在平行四边形ABCD中,AE垂直BD,CF垂直BD,垂足分别为E、F。四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

今天晚上就要，请大家快点啊，要用5种方法
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 　　
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 　　
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；　
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

Answer 1

(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF
在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠ABD=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BE=DF
在△ADF和△BCE中，∵AD=BC，∠CBE=∠ADF，BE=DF
∴△ADF≌△BCE（SAS）
∴∠AFD=∠BEC
∴∠AFE=∠CEF
∴AF∥CE，结合AE∥CF可得AECF是平行四边形
（2）由（1）中所证△ABE≌△CDF可得AE=CF，所证△ADF≌△BCE可得AF=CE
所以AECF是平行四边形
（3）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF
根据（1）中所证△ABE≌△CDF可得AE=CF
所以AECF是平行四边形
（4）连接AC交BD于点O
∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD
由（1）中所证△ABE≌△CDF可得BE=DF
∴OE=OF
所以AECF是平行四边形
（5）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF
∴∠AFB=∠CED
在△ABF和△CDE中，∵∠ABF=∠CDE，∠AFB=∠CED
∴∠BAF=∠DCE
在△ABE和△CDF中，∵∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°
∴∠BAE=∠DCF
∴∠EAF=∠ECF
在△AEF和△ECF中，∵∠EAF=∠ECF，∠AEF=∠CFE=90°
∴∠AFE=∠CEF
∵∠AFC=∠AEC
∴AECF是平行四边形
本题的证法不唯一，可以通过不同的方式得到需要的条件的