Question

如图所示：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，BD=2AE.

如图所示：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，BD=2AE.
求证：BD是∠ABC的角平分线.

Answer 1

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC．
又AC=BC，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又BD=2AE.
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．

Answer 2

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC．
又AC=BC，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=1/2BD，
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．

Answer 3

解：延长线段AE和延长线段BC交于F点
因为角F=180度-角CAF 、 角ADE=180度-角CAF
所以角F=角ADE
又因为角ADE=角BDE （对顶角相等）
所以角F=角BDE
在三角形ACF和三角形BCD中
角F=角BDE
角FCA=角DCB=90度
AC=BC （ 已知）
所以三角形ACF全等于三角形BCD （角角边）
所以AF=BD （全等三角形对应边相等）
因为BD=2AE （已知）
所以AF＝2AE
所以AE＝EF
因为AE垂直BD的延长线于E　　（已知）
所以角AEB＝角FEB＝90度
因为BE＝BE　　（公共边）
所以三角形ABE全等于三角形FBE　　（边角边）
所以角ABE＝角FBE　　　　　（全等三角形对应边相等）
所以BD是∠ABC的角平分线.　　（角平分线定义）