Question

(第36届奥地利数学奥林匹克（初中）试题）证明:不存在正整数a、b,满足等式4a(a+1)=b(b+3).

求解！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

证明：4a(a+1)=b(b+3)
4a²+4a=b²+3b
(2a+1)²=(b+1)²+b
(2a+1)²-(b+1)²=b
(2a+b+2)(2a-b)=b
∵a、b都是正整数
∴2a+b+2＞b 2a-b 是整数
而要使 (2a+b+2)(2a-b)=b成立
必须 0＜2a-b＜1
∴不存在正整数a、b,满足等式4a(a+1)=b(b+3).

Answer 2

假设：4a(a+1)-b(b+3)=0
对某个给定的整数b,
上式是关于a的一元二次方程,4a^2+4a-b^2-3b=0
其判别式为Δ=4^2+4^2(b^2+3b)=4^2(b2+3b+1).
若对某个整数b,存在整数a满足方程,则其判别式必须是完全平方数.
因此,b^2+3b+1必须是完全平方数.
注意到(b+1)^2=b^2+2b+1
所以假设不成立，
希望能帮你，望采纳。

追问

上式是关于a的一元二次方程,4a^2+4a-b^2-3b=0
其判别式为Δ=4^2+4^2(b^2+3b)=4^2(b2+3b+1).
这部是什么？我好像看不懂，解释一下