Question

如图三角形ABC是等边三角形P是三角形外一点且∠ABP+∠ASP=180°。求证:PB+PC=PA

Answer 1

证明：
在PA上截取PE＝BP，连接BE
因为∠ABP+∠ACP=180°
所以A、B、P、C四点共圆
因为△ABC是等边三角形
所以∠BCA＝60°
因为∠BPA＝∠BCA
所以∠BPA＝60°
因为PE＝BP
所以△BPE是等边三角形
所以 BE＝BP
又因为AB＝AC，∠BAP＝∠BCP
所以△ABE≌△CBP
所以AE＝CP
所以BP＋CP＝PE＋AE＝AP
即PB＋PC＝PA

Answer 2

【纠正∠ABP+∠ACP=180°】
证明：
在PC的延长线上截取CD=PB，连接AD
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60º
∵∠ABP+∠ACP=180°，∠ACD+∠ACP=180º
∴∠ACD=∠ABP
又∵AB=AC，PB=CD
∴⊿ABP≌⊿ACD（SAS）
∴AP=AD，∠BAP=∠CAD
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60º
∴∠PAD=∠CAD+∠PAC=60º
∴⊿APD是等边三角形【有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。AP=AD，∠APD=60º】
∴PA=PD=PC+CD=PC+PB
即PB+PC=PA