如图△ABC中，BE平分∠ABC，AD是BC边上的中线,AD、BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=4,AG=DG=2，求AB的长。
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∵AD⊥BE、AG＝DG，∴BE是AD的中垂线，∴AB＝BD，又BD＝CD，∴BC＝2AB。
∵BE平分∠ABC，∴由三角形内角平分线定理，有：AB/BC＝AE/CE＝1/2，∴CE＝2AE。
令AB＝x，AE＝y，则：AC＝3y，BC＝2x。
由余弦定理，有：
cos∠BAC＝（AB^2＋AE^2－BE^2）/（2AB×AE）＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC），
∴（x^2＋y^2－16）/（2xy）＝（x^2＋9y^2－4x^2）/（6xy），
∴3x^2＋3y^2－48＝－3x^2＋9y^2， ∴6x^2－6y^2＝48， ∴x^2－y^2＝8。
由勾股定理，有：AB^2＝BG^2＋AG^2、 AE^2＝EG^2＋AG^2，
∴x^2＝BG^2＋4、 y^2＝（4－BG）^2＋4，
∴x^2－y^2＝BG^2－（4－BG）^2＝8， ∴BG^2－16＋8BG－BG^2＝8， ∴8BG＝8＋16，
∴BG＝1＋2＝3， ∴BG^2＝9。
∴x^2＝BG^2＋4＝9＋4＝13， ∴x＝√13， 即：AB＝√13。
∵BE平分∠ABC，∴由三角形内角平分线定理，有：AB/BC＝AE/CE＝1/2，∴CE＝2AE。
令AB＝x，AE＝y，则：AC＝3y，BC＝2x。
由余弦定理，有：
cos∠BAC＝（AB^2＋AE^2－BE^2）/（2AB×AE）＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC），
∴（x^2＋y^2－16）/（2xy）＝（x^2＋9y^2－4x^2）/（6xy），
∴3x^2＋3y^2－48＝－3x^2＋9y^2， ∴6x^2－6y^2＝48， ∴x^2－y^2＝8。
由勾股定理，有：AB^2＝BG^2＋AG^2、 AE^2＝EG^2＋AG^2，
∴x^2＝BG^2＋4、 y^2＝（4－BG）^2＋4，
∴x^2－y^2＝BG^2－（4－BG）^2＝8， ∴BG^2－16＋8BG－BG^2＝8， ∴8BG＝8＋16，
∴BG＝1＋2＝3， ∴BG^2＝9。
∴x^2＝BG^2＋4＝9＋4＝13， ∴x＝√13， 即：AB＝√13。
追问
答案貌似是根号8，但还是谢谢了~
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