Question

已知方程X ^2+Y^2-2X-4Y+m=0 数学

已知方程X ^2+Y^2-2X-4Y+m=0
（1）此方程表示圆，求m的取值范围
（2）若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点，且OM垂直于ON(O为坐标原点),求m的值,,,,,,,要过程

Answer 1

：(1)曲线C方程化为(x-1)²+(y-2)²=5-m
显然当5-m>0，即m<5时曲线C是圆。
(2)设M，N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
把x+2y-4=0，即y=2-(x/2)代入圆C方程，得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0，整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
该方程有实根，即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韦达定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON，得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0)，即
x1x2+y1y2=0，而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5，故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8，故m的值为1.6。

Answer 2

1.圆的方程标准式为：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
2.X ^2+Y^2-2X-4Y+m=0 转换为标准式（x-1)^2+(y-2)^2=5-m, 则5-m>0，m<5.(不能是≥，等于零就是点了，参考http://zhidao.baidu.com/question/104340620.html?an=0&si=4）

设M(x1,y1), N(x2,y2)
由两个方程消去x得
8+m-16*y+5*y^2=0
两根之积与两根之和
y1*y2=(8+m)/5, y1+y2=16/5
x1*x2=(4-2y1)*(4-2y2)=16-8*(y1+y2)+4*y1*y2

因为OM垂直ON，所以x1*x2+y1*y2=0
将上面结果代入得m=8/5=0
即m=8/5

剩下的参考http://baike.baidu.com/view/1053783.htm