Question

如何解这个不定积分？

∫x^(-5)/[e^x^(-1)-1]dx ，最好是有过程的啊~~
谢谢啦~~

Answer 1

这题需要用到不定积分中的换元积分法和分部积分法技巧，不懂可以问啊。解法：

Answer 2

求不定积分：∫{[(e^(1/x)-1]/x^5}dx
解：原式=∫[e^(1/x)/x^5]dx-∫dx/x^5=-1/(4x⁴)+∫[e^(1/x)/x^5]dx
令1/x=u，则x=1/u，dx=-du/u²，代入时式中的第二个积分：
∫[e^(1/x)/x^5]dx=-∫[(u^5)(e^u)/u²]du=-∫u³e^udu=-∫u³d(e^u)=-[u³e^u-3∫u²e^udu]
=-u³e^u+3∫u²d(e^u)=-u³e^u+3[u²e^u-2∫ue^udu]=-u³e^u+3u²e^u-6∫ud(e^u)
=-u³e^u+3u²e^u-6[ue^u-∫e^udu]=-u³e^u+3u²e^u-6ue^u+6e^u=(-u³+3u²-6u+6)e^u+C
=(-1/x³+3/x²-6/x+6)e^(1/x)+C
故∫{[(e^(1/x)-1]/x^5}dx=-1/(4x⁴)+(-1/x³+3/x²-6/x+6)e^(1/x)+C

Answer 3

按照下面的解题方法去做。
∫e^2x/√(2e^x+1)dx
=∫e^x/√(2e^x+1)*e^xdx
=∫e^x/√(2e^x+1)de^x
=1/2*∫e^x/√(2e^x+1)d2e^x
=1/2*∫e^x/√(2e^x+1)d(2e^x+1)
=1/2*(-1/2+1)∫e^xd√(2e^x+1)
=1/4[√(2e^x+1)*e^x-∫√(2e^x+1)*de^x]
=1/4[√(2e^x+1)*e^x-1/2*∫√(2e^x+1)*d(2e^x+1)]
=1/4[√(2e^x+1)*e^x-1/2*(1/2+1)(2e^x+1)^(1/2+1)]+C
=√(2e^x+1)*e^x/4-3(2e^x+1)^(3/2)/16+C