Question

数学题，初一题目，求过程详细，要看得懂

任意写一个三位数，（三个数字互不相同），把它们个位与百位上的数字对换的到第二个三位数，两数做差（大数减小数）得到第三个三位数，再把第三个三位数的个位与百位上的数字对换得到第四个三位数，现将第三、第四个三位数求和，你能得出什么结论？你能否说明理由。（注：过程详细，初中同学看得懂）
（1）先用具体数探求结论;
（2）在用字母说明理由。（如任意写一个三位数abc（a大于c））

Answer 1

解（1）任意写一个三位数763
第二个三位数是367（第一个三位数个位与百位对换）
第三个三位数是396（第一个与第二个数，大数减小数之差）
第四个三位数是693（第三个三位数的个位与百位上的数字对换）
第三、第四个三位数求和
396+693=1089
结论：任意写一个三位数，经过上述变换后，第三、第四个三位数的和是1089

（2）任意写一个三位数，abc(a>c)
则此三位数的值为 100a+10b+c
第二个三位数的值为 100c+10b+a（第一个三位数个位与百位对换）
第三个三位数的值为
100a+10b+c-（100c+10b+a）
=100（a-c）+(c-a)
=100(a-c-1)+90+(10+c-a)
(第一个三位数与第二个数三位数之差)
第四个三位数的值为100(10+c-a)+90+(a-c-1)
（第三个三位数的个位与百位上的数字对换）
第三、第四个三位数求和
100(a-c-1)+90+(10+c-a)+ [100(10+c-a)+90+(a-c-1)]
=100a-100c-100+90+10+c-a+1000+100c-100a+90+a-c-1
=1000+90-1
=1089

Answer 2

（1）753 357 396 693 396+693=1089
（2）abc(a＞c) cba [(a-1-c)(b-1+10-b)(c+10-a)]方括号内是第三个数，三个小括号分别表示百位、十位、个位，个位上c-a不够减，到十位借一，所以是c+10-a,十位b-b,但是已经借走了一个，也不够减了，只有到百位去借一，所以就是b-1+10-b=9,百位也借走了一个，当然是a-1-c了；交换个位和百位得第四个数：[(c+10-a)(b-1+10-b)(a-1-c)],第三和第四数相加：[(a-1-c)(b-1+10-b)(c+10-a)]+[(c+10-a)(b-1+10-b)(a-1-c)]={[(a-1-c)+(c+10-a)][(b-+10-b)+(b-+10-b)][(c+10-a)+(a-1-c)]}=[(9)(18)(9)]=1089 。
十位等于18，应该向百位进一，余8就是十位了，十位原来是9，得到十位的进一后就是10了，应该继续向千位进一，余数0就成为百位了。
所以：abc取任意数（a＞c）组成的三位数，按题示计算的结果都是1089！

Answer 3

对ABC，
第二个数字CBA。
第三个数字
= ABC - CBA = 100A + 10B + C - (100C + 10B + A) = 99A - 99C = 99(A - C) = 100（A - C） - (A - C) 。
显然A - C是一个一位数。令A - C = K，则第三个数就等于100K - K ，形式上必然是这样一个数：
百位 = K - 1，十位 = 9 ，个位 = 10 - K
因此第四个数形式就是百位10 - K，十位9，个位K - 1
则第三个、第四个数的和
= 100(K - 1) + 90 + (10 - K) + 100(10 - K) + 90 + (K - 1)
= 100K - 100 + 180 + 10 - K + 1000 - 100K + K - 1
= -100 + 180 + 10+ 1000 - 1
= 10⑧9

追问

那个百位=K-1，的位置我不懂

追答

两数做差（大数减小数）得到第三个三位数

Answer 4

1、具体数字控求
321
123
321-123=198------第三个数
891--------第四个数
198+891=1089

546
645
546-645=99——第三个数
990——第四个数
99+990=1089
结论：不论这个三位数是什么，这样得到的第三个数和第四个数的和都是1089

2、证明：
第一个数为abc,第二个数则为cba
abc-cba
=100a+10b+c-(100c+10b-a)
=100(a-c)-(a-c)
现在需要将上式转换成100*()+10*()+()的形式
设a-c= F
则上式=100F-F
=100*F+90-90-F
=100F+10*9+10-100-F
=100*(F-1)+10*9+(10-F)--------------终于化成了我们想要的形式了,
这就是第三个数,个位是10-F，十位上是9，百位上是F-1
所以，第四个数个位上为
则第四个数 个位为F-1 十位十位上是9，百位上为10-F
第三个数+第四个数
=100*(F-1)+10*9+(10-F)+100*（10-F）+10*9+（F-1）
=100（F-1+10-F）+180+（10-F+F-1）
=100*9+180+9
=1089

Answer 5

第一个数 a b c
第二个数 c b a
第三个数 a-1-c 10+b-1-b 10+c-a
第四个数 10+c-a 10+b-1-b a-1-c
求和 10 8 9
结论是第三个数与第四个数之和不变，1089。但是好像还要个条件，（abc不等于0）