Question

已知实数a不等于b,比较a的4次方—b的4次方与4a的三次方乘以（a—b）的大小

Answer 1

a^4-b^4-4a^3(a-b)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)-4a^3(a-b)
=(a-b)(b^3+a^2b+ab^2-3a^3)
=(a-b)(a-b)(-3a^2-2ab-b^2)
=-(a-b)^2×(3a^2+2ab+b^2)
=-(a-b)^2×[(a+b)^2+2a^2]
因为a≠b
所以-(a-b)^2<0,(a+b)^2+2a^2>0
所以a^4-b^4-4a^3(a-b)=-(a-b)^2×[(a+b)^2+2a^2]<0
所以a^4-b^4<4a^3(a-b)

备注：这样做的方法是有个前提，就是要把b^3+a^2b+ab^2-3a^3这个式子分解因式，可以注意到当a=b时，这个式子是等于0的，因此肯定有a-b这个公因式。

Answer 2

a的4次方—b的4次方<4a的三次方乘以（a—b）下面证明
该不等式就是b的4次方+3a的4次方>4a的立方乘以b
a和b都是正数时左边等于b的4次方+a的4次方+a的4次方+a的4次方>4a的立方乘以b
其他情况易证

Answer 3

a^4-b^4-4a^3(a-b)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)-4a^3(a-b)=(a-b)(b^3+a^2b+ab^2-3a^3)
当a>b, (a-b)>0, (b^3+a^2b+ab^2-3a^3)<0, (a^4-b^4) < (4a^3(a-b)) .
当a<b, (a-b)<0, (b^3+a^2b+ab^2-3a^3)>0, (a^4-b^4) < (4a^3(a-b)) .
所以 (a^4-b^4) < (4a^3(a-b))