Question

已知二次函数f（X）的图像以A（-1.4）为顶点，且过点B（2.-5）

①求函数f（X）的解析式
②判断函数f（X）在[0，正无穷）的单调性。并用定义证明

Answer 1

解：（1）设顶点式：y=a(x+1)²+4，
把点B(2,-5)代入，得：-5=9a+4，得：a=-1；
所以，f(x)的解析式为：f(x)=-(x+1)²+4，即：f(x)=-x²-2x+3
证：（2）令0≦x1<x2；
则f(x1)-f(x2)=-x1²-2x1+3-(-x2²-2x2+3)
=x2²-x1²+2x2-2x1
=(x2-x1)(x2+x1)+2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1+2)
因为0≦x1<x2，
所以：x2-x1>0，x2+x1+2>0；
所以，f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1+2)>0
即0≦x1<x2时，f(x1)>f(x2)
所以f(x)在[0,+∞)上是单调减函数；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c (a≠0)
f(x)=a(x+b/2a)²-b²/4a+c
定点坐标（-b/2a,c-b²/4a)
所以有-b/2a=-1 ① c-b²/4a=4②
且点（2，-5）在函数上有4a+2b+c=-5③
由①②③得到a=-1 b=-2 c=3
f(x)=-x²-2x+3

(2) f(x)对称轴是X=-1，故当X≥-1是，函数是单调增或者单调减
设X和X′是函数F(X)上的两点，且都在（0，﹢∞）上x＞x′
f(x)=-x²-2x+3 f(x′)=-x′²-2x′+3
f(x)-f(x′)=x′²-x²+2x′-2x
分解因式：
f(x)-f(x′)=(x′-x)+(x′+x+2)
因为x＞x′且0＜x′＜x
所以x′-x＜0 x′+x+2＞0
所以f(x)-f(x′)＜0
所以得到f(x)在（0，﹢∞）上是递减函数

Answer 3

（1）用顶点式可将函数表达为：f(x)=a*(x+1)^2+4
又因为他经过（2，-5）剩下的自己算吧，我明天有时间来看。