Question

高一数学：y=x+4/x（x∈0，正无穷大），证明它在（0,2）上是减函数

题错了，是y=x-x/4(x∈0，正无穷大)

Answer 1

用定义法判断单调性：
设x1,x2∈（0，2)且x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2+4/x2 - (x1+4/x1)
=x2-x1 +4(x1-x2)/(x1•x2)
=(x2-x1)[1- 4/(x1•x2)]
因为x1,x2∈（0，2)，所以
4/(x1•x2)>1，1- 4/(x1•x2)<0
所以(x2-x1)[1- 4/(x1•x2)]<0
即f(x1)>f(x2)
所以函数f（x）=x+1/ x在区间（0，2)上是减函数。
注：本题也可以求导判断单调性，较为简单。

追问

抱歉，题错了，我记得题好像是y=x-x/4
恩，再解答一下嘛？

追答

是 y=x-4/x吧
那就不是减函数了，在（0，+∞）都是增函数
设x1,x2∈（0，+∞)且x10
即f(x1)<f(x2)
所以函数f（x）=x-1/ x在区间（0，+∞)上是增函数。

追问

你也说是增函数，这反正是今天考试的某道题，原题就直接让证明这是减函数，哦，是证明在区间（0，2）上减……我用定义弄出来就是增(⊙o⊙)。。。所以才来提问啊，我看了看草稿应该是的x-x/4 也不排除搞错了= =，反正这是个双钩函数，不过题已经列出数据说明在（0,2）上单减了。哎呀昏……

追答

如果是个双钩函数，中间就是加号，一般形式为f(x)=x+a²/x (a>0),在(-a,0)和(0,a)上减函数，在
（-∞，-a)和（a,+∞）是增函数。

Answer 2

y=x+4/x>=x*4/x=4;
当且仅当x=4/x时，等号成立；此时x=2;
所以函数在x=2得到最小值；
所以它在（0,2）上是减函数，在【2，正无穷）递增；