Question

大一高数导数选择题

选项ac前面为1/h^2
b选项括号里面是1-e^h

Answer 1

直接根据可导性的定义知道lim(h->0)[f(h)-f(0)]/(h-0)的极限存在性等价于函数f在0处的可导性。
根据条件上面的极限可以化简成：
lim(h->0)f(h)/h
再结合1-e^h与-h在h->0时是等价无穷小量，所以B中极限只与上面可导的等价条件相差一个负号，这不影响存在性以及关系的等价性。所以B是正确的。
其他选项都不是等价条件。

Answer 2

因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处的左导数等于右导数，根据左右导数的定义可知，
lim(-h-->0+){[f(0-h)-f(0)]/-h}=lim(-h-->0-){[f(0-h)-f(0)]/-h},又f(0)=0,所以也即
lim(-h-->0+)[f(-h)/-h]=lim(-h-->0-)[f(-h)/-h]=lim(-h-->0)[f(-h)/-h],三个等式同时提个负号出来就变成lim(h-->0+)[f(-h)/h]=lim(h-->0-)[f(-h)/h]=lim(h-->0)[f(-h)/h]
又因为lim(h-->0)[(1-e^h)/-h]=1(利用换元法把h重新用一个字母表示，然后利用对数的运算性质和教材中的重要极限:lim(n趋近于无穷）(1+1/n)^n=e可以加以证明），所以
1-e^h和-h是等价无穷小，即1-e^h~-h,那么f(1-e^h)~f(-h),显然lim(h-->0)[f(-h)/h]和
lim[(1-e^h)/h]是完全等价的

Answer 3

只有1-e^h是与h同阶的无穷小，而且与导数的定义吻合

Answer 4

看不清啊

Answer 5

bbg