Question

在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出...

在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现为止，求平均试验次数。

Answer 1

记成功与失败均出现,试验停止时试验次数为x次
P(x=2)=(1-p)*p+ p*(1-p)=2*p*(1-p)
P(x=3)=(1-p)^2*p+p^2*(1-p)=((1-p)+p)* p*(1-p)
P(x=4)=(1-p)^3*p+p^3*(1-p)=((1-p)^2+p^2)* p*(1-p)
……
P(x=n)= (1-p)^(n-1)*p+p^(n-1)*(1-p)=((1-p)^(n-2)+p^(n-2))* p*(1-p)
……

E(x)=2*2*p*(1-p)+3*((1-p)+p)*p*(1-p)+4*((1-p)^2+p^2)*p*(1-p)+……+n*((1-p)^(n-2)+p^(n-2))*p*(1-p) +……
=【1*((1-p)^(-1)+p^(-1))+2*((1-p)^0+p^0)+3*((1-p)+p)+4*((1-p)^2+p^2)+……+n*((1-p)^(n-2)+p^(n-2)) +……-1*((1-p)^(-1)+p^(-1))】*p*(1-p)
=【1/(1-p)^2*1/p^2+1/p^2*1/(1-p)^2-1*((1-p)^(-1)+p^(-1))】*p*(1-p)
=【1/(1-p)^2*1/p^2+1/p^2*1/(1-p)^2-1*((1-p)^(-1)+p^(-1))】*p*(1-p)
=2/(p*(1-p))-p-(1-p)
=2/(p*(1-p))-1
=2/p+2/(1-p) -1

平均试验次数为 2/p+2/(1-p) -1 次。

Answer 2

就是求期望 NP