Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．

老师说要两种方法计算，明天就要交，快快快快快快啊~~~

Answer 1

证明：
∵CD⊥AB
∴∠FDB=∠ECB=90º
∴∠DBF+∠DFB=∠CBE+∠CEF=90º
∵∠DBF=∠CBE【BE平分∠ABC】
∴∠DFB=∠CEF
∵∠DFB=∠CFE
∴∠CFE=∠CEF
∴

Answer 2

解答：
解法一：设∠CBE=x，则∠DBF=x，
∴∠DCB=90°－2x，
∴∠ECF=2x，
∴∠CEF=90°－x，
∴由△CEF的内角和得：
∠CFE＋90°－x＋2x=180°，
∴∠CFE=90°－x=∠CEF。
解法二：过E点作AB的垂线，垂足为G点，
则易证△BCE≌△BGE，
∴CE=GE，∠CEF=∠GEF，
又EG∥CD，
∴∠GEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE。

Answer 3

证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠FBD=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠DFB，
∴∠CEB=∠FBD，
∵∠FBD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF．