Question

如图1，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4cm/s的速 度移动，

点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中
一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s
⑴ 当t为何值时，四边形APQD为矩形？
⑵ 如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

Answer 1

1.只要PQ平行于AD，就满足四边形APQD为矩形了。也就是AP+CQ=20cm,
因为AD//PQ//BC所以CQ=BP,AP+CQ=20cm,
设方程为4t+1t=20
t=4s.

（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，
∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切．而当PQ=4cm时，如果PQ∥AD，那么四边形APQD是平行四边形．
①当四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）．
②当四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ．
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，
∴∠APQ=∠B．
∴PQ∥BC．
∴四边形PBCQ平行四边形．此时，CQ=PB．
∴t=12-3t．解得t=3（s）．
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切．

Answer 2

1）
当AP=DQ时，四边形为APQD为矩形
因为 AP=DQ
所以 AP+QC=DC=AB=20cm
因为 点P以4cm每秒的速度移动，点Q以1cm每秒的速度移动
所以 t=AP/4=(20-AP)/1
所以 AP=16，t=4s

2)
当圆P和圆Q外切时，PQ=4cm
当P还在AB段时，则为题一的情况，则t1=4s

当P在CD段时，PQ=4cm(Q在P的前面)或QP=4cm(P在Q的前面)
当 PQ=4cm(Q在P的前面)
此时P从A出发，走的距离=AB+BC+CP=24+CP
此时Q从C出发，走的距离=CP+4
因为 P，Q同时出发
所以 t2=(24+CP)/4=(CP+4)/1
所以 CP=8/3，t2=20/3s

当 QP=4cm(P在Q的前面)
此时P从A出发，走的距离=AB+BC+CP=24+CP
此时Q从C出发，走的距离=CP-4
因为 P，Q同时出发
所以 t3=(24+CP)/4=(CP-4)/1
所以 CP=40/3，t3=28/3s

所以 t=4s或20/3s或28/3s时，圆P和圆Q外切

Answer 3

1.只要PQ平行于AD，就满足四边形APQD为矩形了。也就是AP+CQ=20cm,
因为AD//PQ//BC所以CQ=BP,AP+CQ=20cm,
设方程为4t+1t=20
t=4s.

（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，
∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切．而当PQ=4cm时，如果PQ∥AD，那么四边形APQD是平行四边形．
①当四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）．
②当四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ．
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，
∴∠APQ=∠B．
∴PQ∥BC．
∴四边形PBCQ平行四边形．此时，CQ=PB．
∴t=12-3t．解得t=3（s）．
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切

Answer 4

（1）t为4S的时候。
画图就可以理解了
只要PQ平行于AD，就满足四边形APQD为矩形了。也就是AP+CQ=20cm,
因为AD//PQ//BC所以CQ=BP,AP+CQ=20cm,
这样也就可以当成Q点是从B点出发往A点走，和P点从A出发往B点走，当两点在AB这边相遇时所需的时间。
设方程为4t+1t=20 解出来就是t=4s.
（2）P和⊙Q外切，也就是说P,Q直线距离为半径和，即4cm，而BC边长就为4cm所以就PQ垂直CD就是了

Answer 5

1 过P点作PQ∥AD
在矩形ABCD中 AD∥CB，DC∥AB
∵PO∥AD AD∥CB
∴四边形APQD是平行四边形
∵平行四边形APQD
∴AP=DQ QC=PB
∵AP+PB=20
∴AP+QC=20
∵P以4cm/s移动 Q以1cm/s移动
∴4t+t=20
∴ t=4

Answer 6

（2）如图所示：
当PQ切圆于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，
则AP=PE=4t，DQ=EQ=20-t，QF=AD=4，PF=DQ-AP=20-t-4t=20-5t，
PQ=DQ+PE=20-t+4t=20+3t，
∵PF2+QF2=PQ 2，
∴（20-5t）2+42=（20+3t） 2，
解得：t=10+311（舍去）或t=10-311
t为10-311秒时，直线PQ与以AD为直径的圆相切；
（3）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．如图3
只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．
由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动，图右图．
此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，
∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，如右图．
可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，t-（4t-24）=4，
解得 t=203（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，如右图．
当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，4t-24-t=4，
解得 t=283（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，
点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，
而 283＜11，
∴当t为4s，203s，283s时，
⊙P与⊙Q外切．