Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2） 的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此， 的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是 ， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此 的周长之和是24． 6分
（3）设BE＝x，则
所以 8分
配方得： ．
所以，当 时，y有最大值． 9分
最大值为 ． 赞同0| 评论 2010-5-1 23:09 destiny_羽毛 | 四级
设BE＝x，则 EF=4/5X GC=3/5(10-X)
所以y=EF*DG=1/2*4/5X(3/5(10-X)+5)=-6/25x^2-22/5X
配方得：Y=-6/25(X-55/6)^2+121/6 ．
所以，当X=55/6时，y有最大值．
最大值为 121/6

Answer 2

1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2） 的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此， 的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是 ， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此 的周长之和是24． 6分
（3）设BE＝x，则
所以 8分
配方得： ．
所以，当 时，y有最大值． 9分
最大值为 ．

Answer 3

证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．

（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
由BC=10，AB=5，AM=4，可得CH=8，BH=6，
所以BC+CH+BH=24；

（3）设BE＝x，则
所以 8分
配方得： ．
所以，当 时，y有最大值． 9分
最大值为 ． 设BE＝x，则 EF=4/5X GC=3/5(10-X)
所以y=EF*DG=1/2*4/5X(3/5(10-X)+5)=-6/25x^2-22/5X
配方得：Y=-6/25(X-55/6)^2+121/6 ．
所以，当X=55/6时，y有最大值．
最大值为 121/6

Answer 4

（1）AB平行于CD；得出ΔBEF ∽ΔCEG
（2）两个三角形周长之和不变，等于10+8+6=24
过B做CD的垂线，交DC延长线于H,△BCH的周长即△BEF和△CEG的周长之和