Question

一个数学问题！

如图，抛物线y=x^2+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C。
（1）求点A的坐标
（2）当b=0时，如图（2），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b，若不存在，说明理由。

Answer 1

1、抛物线y=x^2+x-4与y轴交于点A(x,y),则对于A点
x=0,y=-4
A(0,-4)
2、由抛物线y=x^2+x-4与直线y=x+b相交，设交点为B(x1,y1)C(x2,y2)
x^2+x-4=x+b
x^2=b+4
当b=0时x^2=4
x1=-2,x2=2
CE=2^(1/2)*x2=2*2^(1/2)
BE=2^(1/2)*(-x1)=2*2^(1/2)=CE
△ABE与△ACE有过A点相同的高
所以△ABE与△ACE的面积相等。
当b＞-4时x^2=b+4>0，
B(-(b+4)^(1/2),-(b+4)^(1/2)+4)
C((b+4)^(1/2),(b+4)^(1/2)+4)
CE=BE=（2b+8）^(1/2)
△ABE与△ACE有过A点相同的高
所以△ABE与△ACE的面积相等。
3、假设存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，带入BC两点坐标则
BO^2+C0^2=2*b^2+4*b+16
BC^2=8b+32=BO^2+C0^2
所以2*b^2+4*b+16=8b+32
b=-2或4