Question

空间几何问题

已知三角形ABC,AB=2,BC=1,∠ABC=120°,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2,则三棱锥P-ABC的体积是？

Answer 1

解：设P在ABC上的射影为H，连结HA、HB、HC，由PA=PB=PC得HA=HB=HC即H为△ABC外心，设HA=R，作AB、BC中点D、E，连结HD、HE，则HD、HE分别是等腰△HAB、△HBC底边上的高和顶角的平分线，∴∠DHE=60°，∴∠AHC=120°

△ABC中由余弦定理AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosABC，即AC^2=4+1+2*2*1/2=7

同理△AHC中由余弦定理AC^2=AH^2+HC^2-2AH*HC*cosAHC，

即AC^2=R^2+R^2+2*R*R*1/2=5/2*R^2，得方程5/2*R^2=7，解得R^2=14/5，

Rt△PHA中由勾股定理PH^2=PA^2-HA^2，即PH^2=4-14/5，解得PH=1/5*√30，

S△ABC=1/2*AB*BC*sinABC=1/2*2*1*√3/2=√3/2，

VP-ABC=1/3*S△ABC*PH=1/3*√3/2*1/5*√30=√10/10，解毕。