Question

高中数学必修2总结

Answer 1

：线性回归
一、回归直线方程的推导
思考1：人体脂肪含量和年龄关系散点图中点的分布从整体上看有何特点？

思考2：如何描述这些特点？
（1）回归直线：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

（2）回归方程：回归直线对应的方程叫做回归方程。
思考3：回归直线方程的推导：我们该怎样来求出这个回归方程？
设所求的直线方程为 =bx+a，其中a、b是待定系数。
则 i=bxi+a（i=1，2，…，n）.于是得到各个偏差
yi－ i =yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n）
显见，偏差yi－ i 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记Q=
这样，问题就归结为：当a、b取什么值时Q最小，a、b的值由下面的公式给出：

其中 = ， = ，a为回归方程的斜率，b为截距。
注： 1、各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。
2、我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表：
x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
求两变量间的回归方程
解：列表

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
-9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9

9 14 15 12 5 5 15 12 14 9
计算，得

∴所求回归直线方程为 y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤：
第一步：画出散点图，判断是否具有相关关系
第二步：列表 ；
第三步：计算
第四步：代入公式计算b,a的值；
第五步：写出直线方程。
三、利用线性回归方程对总体进行估计
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。
解: (1)散点图

(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。

通过列表 、计算 、代入公式计算b,a的值、写出直线方程。 Y=-2.352x+147.767
（4）当x=2时，y=143.063,因此，这天大约可以卖出143杯热饮。
【课堂小结】
1、求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
（1）计算平均数 ， ；
（2）求a，b；
（3）写出回归直线方程。
2、回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.。
3、对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。因此，对一组样本数据，应先作 散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程。

Answer 2

好