Question

如图, 已知抛物线y=1/2x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1

在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：将A（2，0）。C（0，-1）代入解得：b=-1/2,c=-1
所以y=1/2x2-1/2x-1
当y=0时，
1/2x2-1/2x-1=0
解得：x=2或x=-1
所以点B（-1，0）
所以易求直线BC为：y=-x-1，（此时直线BC与x,y轴的夹角为45度）
A（2，0），C（0，-1）
所以AC=根号5
△ACP为等腰三角形
则分三种情况：
当AC=AP时一个点P
当AC=PC时，两个点P
当PC=AP时，一个点P

Answer 2

把A、C点的坐标代入抛物线方程
0=1/2×2²+2b+c
-1=c
b=-1/2 c=-1
抛物线的方程为y=1/2x²-1/2x-1
得出B点的坐标为（-1,0）
设BC的直线方程为y=kx+a
0=-k+a
-1=a
BC直线方程为y=-x-1
设P点的坐标为（m,-m-1)
|AC|=|AP| 或|AC|=|PC|
（2-0）²+（0-（-1））²=（2-m)²+(0-(-m-1))²
m(m-1)=0
m=1 (m=0舍去，因为它与C重合）P的坐标为（1，-2）
或 （2-0）²+（0-（-1））²=（m-0)²+(-m-1-(-1))²
2m²=5 m=±√10/2
P的坐标为（√10/2,-√10/2-1)或（-√10/2,√10/2-1)
所以存在三个点，使△ACP为等腰三角形，它们分别为（1，-2）或
（√10/2,-√10/2-1)或（-√10/2,√10/2-1)

Answer 3

将点A 点C代入 2+2b+c=0 c=-1 解得b=-1/2
所以y=x²/2-x/2-1=(x-2)(x+1/2) 所以点B为(-1/2,0)
直线BC (y+1)/x=y/(x+1/2) y/2+x+1/2=0 y+2x+1=0
直线AC (y+1)/x=y/(x-2) x-2y-2=0 y=x/2-1
直线BC的斜率为 -2 直线AC的斜率为1/2 -2*1/2=-1
所以直线AC⊥直线BC 过BC一点p作PE⊥y轴
三角形 PCE∽△AOC 解得 点P为(1,-3)

Answer 4

带入点进去把解析式算出来
是y=(1/2)x^2-(1/2)x-1
=(1/2)(x-2)(x+1)
B(-1,0),以AC两点分别划一条圆弧与BC有3个交点吧ms
P1(-(10^(1/2))/2),(10^(1/2))/2)-1)
P2((10^(1/2))/2),-1-(10^(1/2))/2))
P3(1,-2)