Question

设P为双曲线x^2-y^2/12=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1：PF2=3:2，则△PF1F2的面积为多少

Answer 1

由双曲线方程x^2－y^2/12＝1，得：c^2＝a^2＋b^2＝1＋12＝13，　∴｜F1F2｜＝2√13。
∵｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶2，∴｜PF1｜＝（3/2）｜PF2｜。

由双曲线定义，有：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，
∴｜（3/2）｜PF2｜－｜PF2｜｜＝2，　∴（1/2）｜PF2｜＝2，　∴｜PF2｜＝4。
∴｜PF1｜＝（3/2）×4＝6。

∵｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝36＋16＝52，　｜F1F2｜^2＝4×13＝52，
∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2，　　∴∠F1PF2＝90°。

∴△PF1F2的面积＝（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝（1/2）×6×4＝12。
即：△PF1F2的面积为12。