Question

一个关于线性代数秩的问题

R（A A(T))=R(A)? 文字描述：A为N阶的矩阵 为什么A乘以A的转置的秩等于A的秩？
注：A（T）代表A的转置。谢谢各位！

Answer 1

2齐次线性方程组同解 那么他们的系数矩阵的秩相同
故有，故AX=0与A(T)x=0同解，对于方程组AA(T)X=0，代入A(T)X=0的解，则有A*0=0故AA(T)与A（T）同解，故有R(a)=R(at)=R(aat)!
个人见解，仅供参考！

Answer 2

强调下A必须是实矩阵，因为齐次方程组A'AX=0与AX=0是同解方程组，必有其系数矩阵秩相等。
证明他们同解也很方便：
1，AX=0的解必定是A'AX=0的解；
2，假设X0是A'AX=0的解，则必有A'AX0=0的解--->X0'A'AX0=0，(AX0)'AX0=0,显然AX0=0
所以A'AX=0的解必定也是AX=0的解；