分块矩阵的初等变换的注意点是什么
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注意是左乘还是右乘
行变换要左乘, 列变换要右乘
例:
设A是n阶可逆矩阵，α,β是两个n元列向量，
则 |A+αβ^T| = |A|(1+β^TA^-1α)
考察n+1阶的行列式
D =
1 -β^T
α A
一方面, D=
r2-αr1 [行变换, -α 要乘在 -β^T 的左边]
1 -β^T
0 A+αβ^T
= |A+αβ^T|
另一方面, D=
c1-A^-1αc2 [列变换, -A^-1α 要乘在 -β^T 的右边]
1+β^TA^-1α -β^T
0 A
= |A|(1+β^TA^-1α)
所以 |A+αβ^T| = |A|(1+β^TA^-1α).
行变换要左乘, 列变换要右乘
例:
设A是n阶可逆矩阵，α,β是两个n元列向量，
则 |A+αβ^T| = |A|(1+β^TA^-1α)
考察n+1阶的行列式
D =
1 -β^T
α A
一方面, D=
r2-αr1 [行变换, -α 要乘在 -β^T 的左边]
1 -β^T
0 A+αβ^T
= |A+αβ^T|
另一方面, D=
c1-A^-1αc2 [列变换, -A^-1α 要乘在 -β^T 的右边]
1+β^TA^-1α -β^T
0 A
= |A|(1+β^TA^-1α)
所以 |A+αβ^T| = |A|(1+β^TA^-1α).
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