Question

若函数四阶导数存在不为零，且前三阶导数为零，该点是否为极值点

Answer 1

必为极值点。证明如下。不妨通过平移坐标，让此点为坐标原点，即此点为x=0, 其函数值也为0, 即y(0)=0
根据题意, y'(0)=0, y"(0)=0, y"'(0)=0, y""(0)=a<>0
由此可在此点的邻域作泰勒展开，得其展开式为：
y=y(0)+y'(0)x+y"(2)x^2/2!+....
=ax^4/4!+bx^5/5!+cx^6/6!+.....
当x-->0+时，因为第2项及后面的项都比第1项是更高阶的无穷小，因此其值与第1项ax^4/4同阶，y(0+)的符号同a的符号
当x-->0-时，同样，;y(0-)的符号也同a的符号。
而显然y(0)=0.因此在x=0附近的函数值都具有相同的正负关系。
因此如果a>0,则 y(0)为极小值；如果a<0,则y(0)为极大值。

Answer 2

(f'')'=0,(f'')''不为0，则f''有极值，不妨设f''>=0
即(f')'>=0,f'单增
所以f有极值
所以是极值点

Answer 3

当函数在某点处一阶导数为0，而二阶导数不为0，则该点不是函数的极值点。
即 f '(x0)=f ''(x0)=0，则x=x0不是函数的极值点。

f '(x0)=0，f ''(x0)>0，则x=x0是函数的极小值点；
f '(x0)=0，f ''(x0)<0，则x=x0是函数的极大值点。

Answer 4

f(x) = x^4
f '(x) = 4x^3
f ''(x) = 12x^2
f '''(x) = 24x
f ''''(x) = 24
这个函数显然满足条件，而原函数是关于y轴对称的偶函数，因此在x=0处是极值点。
以上为举例子。
从理论上来说，一个函数的导函数在某一点为零，那么该函数在这一点就是极值点，而二阶导数是判定原函数的凹凸性的，跟极值没有必然联系，因此条件说，一阶导数为零那么原函数在该点就已经满足极值的条件了，跟高阶导数是否为零没有关系。