Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠DC，点E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF<1/2(AB+CD)

Answer 1

证明:连接BD,取BD的中点M,连接EM,FM.
又E为AD的中点,则EM=(1/2)AB;(三角形中位线的性质)
同理可证:FM=(1/2)CD.
∵EF<EM+FM.(三角形三边关系)
∴EF<(1/2)AB+(1/2)CD.
即EF<(1/2)(AB+CD).

Answer 2

延长BA、DC、FE交于O点（AD//BC并且E、F为AD、BC的中点，三角形中线性质，所以必交于一点）。

取OB中点H，连接FH。

因为OF<HF+H0（三角行第三边小于其他两边和），HF=OC/2（三角形中位线定理），HO=OB/2（三角形中位线定理）

所以OF<(OB+OC)/2,

又因为OE/OA=EF/AB=OF/OB，OE/OD=EF/DC=OF/OC（平行线段分线段成比例）

所以EF<(AB+CD)/2