Question

关于隐函数求导问题理解的3个例子

1、求函数的微分：
x-y-e^y=0
解法1：
方程两边对x求导函数：
x-y(x)-e^y(x)=0
1-y'-(e^y)y'=0
∴ y'=1/(1+e^y)
∴dy=1/(1+e^y)dx
解法2
不管x、y是自变量还是因变量，利用微分形式不变性，两边微分
dx-dy-e^ydy=0
∴dy=1/(1+e^y)dx
这个两边微分就是两边对x求导吗？
这个过程有点迷糊，请解释一下

同样的，第2个例子：
已知函数y=y(x)是方程arctan(y/x)=ln√(x^2+y^2)所确定，求y''

这个题也是两边对x求导得；
[(y/x)'x]/[1+(y/x)^2]=(x^2+y^2)'/2(x^2+y^2)
对这一步为什么要这样做也不明白

3、设dx/dy=1/y'
求(dx)^2/dy^2
过程是这样的：
(dx)^2/dy^2
=(dx/dy)'y
=(1/y')'y
=-[(y'x)'y]/y'^2
=-[y''(1/y')]/y'^2
=-y''/y'^3
这个题也不明白
感觉那个二阶导数是对谁求导很迷糊
例外，
如果这个题是对3、4这种高阶求导也是这样做吗？

Answer 1

1、由微分的运算法则d(u±v)=du±dv
这里d(x-y-e^y)=dx-dy-d(e^y)
有微分形式的不变性dy=dy，d(e^y)=e^ydy
所以可以得到dx-dy-e^ydy=0

2、方程arctan(y/x)=ln√(x²+y²)两边对x求导就是
(y/x)'/[1+(y/x)²]=[1/√(x+y²)][√(x²+y²)]'
[(xy'-y)/x²]/[(x²+y²)/x²]=[1/√(x²+y²)]{1/[2√(x²+y²)]}(x²+y²)'
(xy'-y)/(x²+y²)=(2x+2yy')/[2(x²+y²)]
这样可以解出y'，再求y''
也可以通过微分求出dy/dx

3、对y求导啊
但是这里的y'是dy/dx，就是说y'是在对x求导，但是dx/dy以及d²x/dy²都是对y求导
d²x/dy²
=(dx/dy)'<y>
=(1/y')'<y>
=-(y')'<y>/(y')²
=-y''(dx/dy)/(y')²
=-y''/(y')³
如果3阶的话，
d³x/dy³
=(d²x/dy²)'<y>
=(-y''/(y')³)'<y>
=-[(y'')'<y>(y')³-3(y')²(y')'<y>y'']/(y')^6
=-[y'''(dx/dy)(y')³-3(y')²y''(dx/dy)y''](y')^6
=-[y'''(y')²-3y'(y'')²]/(y')^6
=[3(y'')²-y'''y']/(y')^5