Question

质点动力学问题

假设有一穿过地心的笔直隧道,一质点自地面无初速地放入隧道。若质点受到地球内部的引力与它到地心的距离成正比，地球半径R=6370km，在地球表面的重力加速度g=9.8米每秒方，试求：（1）质点的运动；（2）质点穿过地心的速度；（3）质点到达地心所需的时间。

Answer 1

内部引力与距离成正比，故在地球内部运动加速度边小。
1、质点做加速度变小的直线运动。
2、设地心处为原点，质点距地心距离为s，加速度为a=ks（k为正比例系数）
地表处a=9.8，所以9.8=6370×1000k，k=1/650,即a=s/650000,
不知道你学过积分没有，如学过，相信不用我多说，如没学过，可借鉴匀加速直线运动求距离的方法。画出a-S图，则在图中加速度图像与S轴围成的面积（一个直角三角形，请自行画图）乘以质点的质量M就是地球对质点做的功。因为W=Fs=Mas,到地心时，面积=0.5×9.8×6370000
所以W=M×0.5×9.8×6370000，根据动能定理，W=0.5Mv末^2-0,解得v=980倍根号下（65）
3、根据第2问求出的末速度，反过来求地球施加给质点的平均力，是一个关于M的表达式，然后根据动量定理，可以消去M，就求出了时间。我就不多写了，请自行计算。

Answer 2

简谐运动
根据简谐运动性质即可做