Question

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)
I. 求 f(x) 的单调区间
II.证明: 当 0<x<1/a 时 , f(1/a+x) > f(1/a-x)
III. 若函数y=f(x)的图像交x轴于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0, 证明: f ' (x0)<0

主要是第三问，别用反证法

Answer 1

解：
1）定义域x>0
f'(x)=1/x-2ax+2-a=-a(x-1/a)(2x+1)/x
令f'(x)>0,得f(x)增区间(0,1/a)
令f'(x)<0,得f(x)减区间(1/a,+oo)
2）记g(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)
化解可得
g(x)=ln[(1+ax)/(1-ax)]-2ax
其中0<x<1/a或0<ax<1
求导易得
g'(x)=(ax)^2/[1-(ax)^2]>0
知g(x)为(0,1/a)上单调增加函数,则有
g(x)>(x->0)limg(x)=0
即g(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)>0,移项即得证.
3）反证法
设A(x1,0),B(x2,0),中点M(xo,yo)
这里不妨取0<x1<x2,并假设f'(xo)>=0......(*)
依题有:
lnx1-ax1^2+(2-a)x1=0......(1)
lnx2-ax2^2+(2-a)x2=0......(2)
f'(xo)=1/xo-2axo+(2-a)>=0......(3)
x1+x2=2xo......(4)
联立(1)~(4)消去a有
2(x2-x1)/(x1+x2)-ln(x2/x1)>=0
即 2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)>=0......(**)
记x2/x1=t>1
并引入函数
h(t)=2(t-1)/(t+1)-lnt,t>1
求导易得
h'(t)=-(t-1)^2/[t(t+1)^2]<0
知h(t)在t>1上单调减少,又h(t)可在t=1处连续,则
h(t)<h(1)=0,t>1
即　2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)<0......(***)
显然(**)与(***)矛盾
因此假设(*)不成立,进而原命题成立,即f'(xo)<0得证.

追问

看清楚啊...第三问别用反证法啊

Answer 2

仅证明III.
由I. f(x)的增区间为(0,1/a)，减区间为(1/a,+∞)
从而f(1/a)为最大值。若函数y=f(x)的图像交x轴于A,B两点，则f(1/a)>0
设A,B的横坐标为x1,x2，且x1<x2，则f(x1)=0,f(x2)=0　且0<x1<1/a，x2>1/a（这点可由零点的判定及单调性得到）
令x1=1/a-x，则0<x<1/a，于是由II.得
f(1/a+x) > f(1/a-x)=f(x1)=0
由于　1/a+x，x2∈(1/a,+∞)，且f(1/a+x) >0=f(x2)，所以 x2>1/a+x
所以　x0=(x1+x2)/2>[(1/a-x) +(1/a +x)]/2=1/a
即x0∈(1/a,+∞)，所以f'(x0)<0

Answer 3

在三角形ABC中，已知b等于2，a等于X， 角A等于30度 问；1；X为何值时 三角形有一解 2；X为何值时 三角形有两解 3X为何值时 三角形无解？

Answer 4

是dcs咋说