Question

已知函数f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件

①f(x)在D上单调递增或单调递减
②存在区间[a,b]真包含于D（其中a<b）使得x∈[a,b]，f(x)的取值集合也是[a,b]，那么我们把函数y=f(x)(x∈D）叫做闭函数
1)判断f(x)=-x³是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间，若不是，说明理由。
2）f(x)=k+√(x+2)是闭函数，求实数k的取值范围

出函数的单调性不用证明外 其余都需证明。

Answer 1

1） f(x)=-x³在R上单减，故条件①满足，当x∈[-1,1]时，f(x)的取值集合也是[-1,1],条件②满足

2）闭函数，因为函数单增，故x取定义域最小值时f(x)也应取最小值并相等，故定义域x》-2中取
x=-2时f(x)=-2，即k=-2；区间最大值再令k+√(x+2)=x，k=x-√(x+2)是一个增函数，
故k取值范围为（-2，正无穷）

Answer 2

定义域x>=-2

若-2<=a<=x<=b
则k+√(a+2)<=y<=k+√(b+2)
值域也是[a,b]
则a=k+√(a+2)
b=k+√(b+2)
所以x=k+√(x+2)有两个不同的，大于等于-2的解
(x-k)^2=x+2
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
a>=-2,b>-2
a+b=2k+1,ab=k^2-2

a+2>=0,b+2>0
所以a+2+b+2>0
2k+1+4>0
k>-5/2

(a+2)(b+2)>=0
ab+2(a+b)+4>=0
k^2-2+4k+2+4>=0
(k+2)^2>=0
成立

判别式大于0
(2k+1)^2-4(k^2-2)>0
4k+1+8>0
k>-9/4

所以k>-9/4

Answer 3

1.x∈[a,b]，
2.K为任意值

Answer 4

0 9