Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心

AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
A.1/3
B.√2/3
C.√3/3
D.2/3

Answer 1

令△ABC的中心为O，连CO并延长交AB于D，过B1作B1E⊥AB交AB的延长线于E，再过B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F。
设AB＝a。
∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心，∴CD⊥AD、AD＝BD＝a/2，∴CD＝√3a/2。
显然有：DO＝CD/3＝√3a/6。

∵O是A1在平面ABC上的射影，∴A1O⊥平面ABC，∴AD⊥A1O，又AD⊥CD、CD∩A1O＝O，
∴AD⊥平面A1DC，∴AD⊥A1D。
由AA1＝a、AD＝a/2、AD⊥A1D，得：A1D＝√（AA1^2－AD^2）＝√（a^2－a^2/4）＝√3a/2。

∵A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥DO。
由A1D＝√3a/2、DO＝√3a/6、A1O⊥DO，得：
A1O＝√（AD^2－DO^2）＝√（3a^2/4－3a^2/36）＝√6/3。

∵A1D⊥AB、B1E⊥AB，∴A1D∥B1E。
∵ABC－A1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥AB。
由A1D∥B1E、A1B1∥AB，得：A1DEB1是平行四边形，∴B1E＝A1D＝√3a/2、DE＝A1B1＝a。
显然，有：AE＝AD＋DE＝a/2＋a＝3a/2。
∴AB1＝√（AE^2＋B1E^2）＝√（9a^2/4＋3a^2/4）＝√3a。

∵A1O⊥平面ABC、B1F⊥平面ABC，∴A1O∥B1F，∴A1、B1、F、O共面。
∵ABC－A1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥平面ABC，而平面ABC∩平面A1B1FO＝OF，
∴A1B1∥OF。
由A1O∥B1F、A1B1∥OF，得：A1B1FO是平行四边形，∴B1F＝A1O＝√6a/3。

∵B1F⊥平面ABC，∴B1F⊥AF。
由AB1＝√3a、B1F＝√6/3、B1F⊥AF，得：sin∠B1AF＝B1F/AB1＝（√6a/3）/（√3a）＝√2/3。
∴本题的答案是B。

Answer 2

D