Question

如何证明方程x^3-3x+1=0在区间(0,1)内有且只有一个根???

如题!提示利用连续函数的零点存在定理和函数的单调性!
解:设函数f(x)=x^3-3x+1,则f(x)在区间[0,1]内连续!故f(0)=1,f(1)=-1
f(0)*f(1)<0所以根据连续函数的零点存在定理知道,f(x)在区间(0,1)内至少有一个根!
由于f(x)=x^3-3x+1在区间[0,1]内连续,在区间(0,1)可导,所以在区间(0,1)内f'(x)=3x^2-3<0,所以在区间(0,1)内f(x)单调减少!
然后怎么在往下证明呢?

Answer 1

已经证明出他是单调减少的，然后又f(0)=1,f(1)=0，所以在(0,1)区间内，只有一个数x使得f(x)=0。如果不是单调的，那只能得出在该区间存在解，但不一定唯一，单调性保证了解的唯一性。
证明：设f(x)=x^3-3x+1,知f(x)在(0,1) 连续，又 f(0)=1,f(1)=-1,因此在(0,1)内必存在一个x0，使得f(x0)=0。又f'(x)<0，因此在(0,x0)中对应的函数值都f(x)>f(x0),在[x0,1)中的函数值f(x)<f(x0)，因此有且只有x0,使得f(x0)＝0.证明了唯一性。

Answer 2

接下来f(0)f(1)<0，得出结论在(0,1)上f(x)有奇数个根，前面已证f(x)在(0,1)为单调函数，所以只可能存在一个根。

Answer 3

不已经证明了吗？？单调递减不就说明图像与x轴的交点小于两个了