Question

已知等腰梯形ABCD中AD//BC,若AD=3,BC=7,BD=5根号2，求证AC垂直于BD

Answer 1

证明：
作DE⊥BC于E
则CE=（BC-AD）÷2=（7-3）÷2=2
BE=BC-CE=7-2=5
∵DE²=BD²-BE²=（5√2）²-5²=25， DE=5
∴BE=DE即⊿BED是等腰直角三角形
∴∠DBE=45º
∵ABCD是等腰梯形，左右对称
∴∠BCA=45º
设AC于BD交于O
则∠BOC=180º-∠DBC-∠ACB=90º
∴AC⊥BD

Answer 2

过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F
由AD=3，BC=7，∴CF=（7-3）÷2=2
BF=7-2=5
∵△BDF是直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²
5²+DF²=（5√2）²
即DF=5
∴BF=DF=5
∠DBC=45°
由于梯形是等要梯形，∴∠ACB=45°
∴∠BOC=90°（O是AC，BD交点）
∴AC⊥BD。证毕。

Answer 3

过D作DE∥AC交BC的延长线于点E
梯形的对角线交于O
∵AD∥BE
∴四边形ACED为平行四边形
∴AC=DE=BD=5√2（等腰梯形的对角线相等）
且AD=CE
∴BE=BC+CE=10
∵BD²+DE²=100
且BE²=100
∴BE²=BD²+DE²
∴∠BDE=90°
又∵AC∥DE
∴∠BOD=∠BDE=90°
∴AC⊥BD

Answer 4

过D点作AC的平行线，交BC的延长线于F.使DF//AC
BD²=（5根号2）²=50
DF²=50
BD²+DF²=100=BF²
所以BD垂直于DF
所以BD也垂直于AC