Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF//BE,AF垂直EF,AF=EF=0.5BE

求DF与平面ABCD所成角的正切值

Answer 1

解：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN= =PC
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
设AB=1，则AE=1，AF= ，则
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+ = ，
，
在Rt△FGH中， ，
∴二面角F-BD-A的大小为

呃…………有些结果自己算下

Answer 2

1/√5
过F点FG垂直于平面ABCD，因为两平面互相垂直，所以G点在BA的延长线上，所以正切值等于FG/GD，分别求出FG、GD的长度就行了，设FG=1