Question

四边形ABCD为正方形，QA垂直平面ABCD，PD平行QA,QA=AB=1\2PD 证明PD垂直平面DCQ

Answer 1

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则 DQ→=（1，1，0）， DC→=（0，0，1）， PQ→=（1，-1，0），
所以 PQ→• DQ→=0， PQ→• DC→=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
CB→=（1，0，0）， BP→=（-1，2，-1）；
设 n→=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则 {n→•CB→=0n→•BP→=0即 {x=0-x+2y-z=0，
因此可取 n→=（0，-1，-2）；
设 m→是平面PBQ的法向量，则 {m→•BP→=0m→•PQ→=0，
可取 m→=（1，1，1），
所以cos＜ m→， n→＞=- 155，
故二面角角Q-BP-C的余弦值为- 155．

Answer 2

应该是PQ⊥面DCQ
∵QA⊥面ABCD PD∥QA
∴PD⊥面ABCD
∴PD⊥CD
又CD⊥AD
∴CD⊥面ADPQ
∴CD⊥PQ
∵QA=AB
∴∠QDA=45°
∴∠PDQ=45°
又PD=2QA=2√2QD
∴△QDP是等腰直角三角形
∴PQ⊥QD
又PQ⊥CD(已证)
∴PQ⊥面DCQ