Question

如图，从圆O外一点A作圆O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且圆O的直径BD=6，连接AO、CD

（1）求证CD平行于AO（2）设CD=X，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）若AO+CD=11,求AB的长

Answer 1

（1）连接BC交OA于点E。
∵AB、AC是⊙O的切线
∴AB=AC，∠1=∠2
∴AE⊥BC
∴∠OEB=90°
∵BD是⊙O的直径
∴∠DCB=90°
∴∠DCB=∠OEB
∴CD∥AO

Answer 2

证明：（1）连接BC交OA于E点，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC，∠1=∠2．
∴AE⊥BC．
∴∠OEB=90°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCB=∠OEB．
∴CD∥AO．
（2）∵CD∥AO，
∴∠3=∠4．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴ BDAO= DCOB，
∴ 6y= x3，
∴y= 18x．
∴0＜x＜6．

Answer 3

1、连接OC，所以三角形ABO全等于三角形ACO，所以角BOA等于角COA，又因为同一段弧所对应的圆周角是圆心角的一半，所以角ODC等于角BOA，所以CD平行于AO。
2、连接BC，因为直径所对应的圆周角是直角，所以三角形BCD与三角形ACO相似，所以BD/CD=AO/CO，即6/X=Y/3，所以Y=18/X（0 <X<6)。
3、由上式得Y=18/X代入方程X+Y=11，得X等于2和9，由于X小于6，所以X=2，即Y=9，根据勾股定理AB=√72=6√2