Question

已知SA垂直于平面ABC，AB垂直于BC，SA=AB,SB=BC,E为SC中点，DE垂直于SC交AC于D，求二面角E—-BD—-C的大小

Answer 1

令AB＝a。

∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，又SA＝AB＝a，∴SB＝√2a，∴BC＝SB＝√2a。

∵SA⊥平面ABC，∴BC⊥SA，又BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴SB⊥BC。

由SB＝BC＝√2a，SB⊥BC，得：SC＝2a、　且BE＝SC/2＝a。

∵SE＝CE，∵CE＝a。

∵AB⊥BC，∴AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（a^2＋2a^2）＝√3a。

∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，又DE⊥CE，显然有∠SCA＝∠DCE，∴△SAC∽△DEC，

∴DE/SA＝CD/SC＝CE/AC＝a/（√3a）＝√3/3，

∴DE＝（√3/3）SA＝√3a/3，　CD＝（√3/3）SC＝2√3a/3。

∴AD＝AC－CD＝√3a－2√3a/3＝√3a/3。

由余弦定理，有：

cos∠BAC＝（AD^2＋AB^2－BD^2）/（2AD×AB），又cos∠BAC＝AB/AC＝a/（√3a）＝√3/3。

∴（AD^2＋AB^2－BD^2）/（2AD×AB）＝√3/3，

（a^2/3＋a^2－BD^2）/［2×（√3a/3）a］＝√3/3，　∴a^2/3＋a^2－BD^2＝2a^2/3，

∴BD^2＝2a^2/3。

∵AD^2＋BD^2＝（√3a/3）^2＋2a^2/3＝a^2，而AB＝a，∴AD^2＋BD^2＝AB^2，∴AD⊥BD。

∵DE^2＋BD^2＝（√3a/3）^2＋2a^2/3＝a^2，而BE＝a，∴DE^2＋BD^2＝BE^2，∴DE⊥BD。

由AD⊥BD、DE⊥BD，得：∠CDE就是二面角E－BD－C的平面角。

∴cos∠CDE＝cos∠ASC＝SA/SC＝a/（2a）＝1/2，　∴∠CDE＝60°。

即：二面角E－BD－C的大小为60°。