Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c 1.若a>b>c且f（1）=0求证f（x）必有两个零点

2.在1条件下若m满足f（m）<0，试判断f（m+3）>0是否成立说明理由.在线

Answer 1

(1)f(1)=a+b+c=0则b=-(a+c)
因△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²
因a>c 所以△>0，故f（x）必有两个零点
(2)a+b+c=0 因a>b>c 故有a>0且c<0
f(x)=ax²-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1)
=a(x-c/a)(x-1)
f(m)<0则c/a<m<1
因a>b>c 则a>-a-c>c
同除以a得1>-1-c/a>c/a
所以-2<c/a<-1/2
所以-2<m<1 ，1<m+3<4
所以f(m+3)=a(m+3-c/a)(m+3-1)>0 一定成立

Answer 2

f(1)=a+b+c=0
0=a+b+c>3c
0=a+b+c<3a
a>0 c<0 ac<0 b^2>0
对称轴为：x=-b/2a
f(-b/2a)=c-b^2/4a=(4ac-b^2)/4a<0
二次函数f（x）=ax²+bx+c 开口向上，逐于无穷大，
由函数据连续性必有两个零点

Answer 3

解：1.f(1)=a+b+c=0.且a>b>c,∴a>0
△=b²-4ac=b²+4a(a+b)=b²+4a²+4ab=(2a+b)²>0
故必有两个零点
2.f(x)的两根为1，c/a,(0<c/a<1)
由题意得1<m<c/a.∴4<m+3<c/a +3
∵f(x)的对称轴在x=1,x=c/a之间
∴f(x)在[1,+∞）为增
∴f(m+3)>f(1)>0
故成立。

Answer 4

（1）由a>b>c且f（1）=a+b+c=0知 a>0，c<0
所以 ⊿=b²-4ac>0，f（x）有两个零点。
（2）因为f(1)=0，设另一个零点为 x2
则由韦达定理知 x2 ×1=c/a<0
即x2<0
由于f（m）<0，所以m在两个零点之间，从而 c/a<m<1
取c=-5,a=1,b=4，则f（x）=x²+4x-5的两个零点为-5,1
若m=-4，则有f(m)=f(-4)<0，但f(m+3)=f(-1)<0
所以 f（m+3）>0不成立。
事实上，只有当区间(c/a，1)的长度小于3时，才能由
f（m）<0，推出f（m+3）>0成立

Answer 5

由f（1）=0易得：a+b+c=0
又a>b>c，
所以必有：a>0,c<0
故，b²-4ac>0，即方程f（x）=0有二不等实根
所以：f（x）必有两个零点
(2)f(x)的两根为1，c/a
由于f(m)<0,且f(x)二次项系数a>0
所以观察其图像易知，c/a<m<1
因a>b>c 则a>-a-c>c
同除以a得1>-1-c/a>c/a
所以-2<c/a<-1/2
所以-2<m<1 ，1<m+3<4
所以观察其图像易知：f(m+3)>f(1)>0

Answer 6

f(1)=a+b+c=0 因为a>b>c 所以a>0 c<0
f(x)=ax²+bx+c b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>=0 又a>c 所以(a-c)²>0 所以有两个根
2 两根之和=-b/a>-1 两根之积=c/a<0
一个根为x=1 所以另一个根x2 x2+1>-1 x2>-2 所以1-x2<3
f(m)<0 所以 m>x2>-2 m+3>1 所以 f(m+3)>0成立