Question

急！求解高等数学的一道题！

设f(x)在开区间零到一上具有连续的二阶导数，且满足f(x)的绝对值≤a,f''(x)的绝对值≤b，a，b为正的常数，求证：对任给的c∈(0,1)，有f'(c)的绝对值≤2a+b/2

Answer 1

这个问题要是在[0,1]上就好了，非常遗憾的是条件是开区间，这又得费一番事了。
证明: 取卖哗一固定的x0属于(0,1),对于任意的x∈(01),由拉格朗日中值定理，
在c和x之间存在ξ,使得f'(x)-f'(x0)=f''(ξ)(x-x0)，
于是|f'(x)|=|f'(x0)+f''(ξ)(x-x0)|≤|f'(x0)|+|f''(ξ)(x-x0)|≤|f'(x0)|+b=K.
即一阶导数有界，对于任意的x1,x2∈(01),由拉格朗日中值定理虚激
存在ξ1介于x1,x2之间使得f(x1)-f(x2)=f'(ξ1)(x1-x2), 于是|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|.
利用这一不等式可以证明（利用柯栖准则）函数f(x)在0点的右极限存在，
在1点的左极限存在，补充f(0)为f(x)在0点处有右极限，
f(1)为f(x)在点1处有左极限，则f(x)在[0,1]上连续，差配袜利用二阶秦勒公式得
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(γ)/2! *(x-c)^2 (1)
在（1）式中分别令x=0和x=1得
f(0)=f(c)+f'(c)(0-c)+f''(γ1)/2! *(0-c)^2 (2)
f(1)=f(c)+f'(c)(1-c)+f''(γ2)/2! *(1-c)^2 (3)
(3)-(2)得
f(1)-f(0)=f'(c)+f''(γ2)/2! *(1-c)^2 -f''(γ1)/2! *(0-c)^2
于是|f'(c)|= | f(1)-f(0)-f''(γ2)/2! *(1-c)^2 +f''(γ1)/2! *(0-c)^2|
≤| f(1)|+|f(0)|+|f''(γ2)|/2! *|1-c|^2 +|f''(γ1)|/2! *|(0-c)^2|
≤2a+b/2*[(1-c)^2+c^2]≤2a+b/2
其中(1-c)^2+c^2≤1,0<c<1.

Answer 2

详细见
http://hi.baidu.com/522597089/album/item/d8b93bc7f485cadf8326acbf.html#
若或仔满衫虚汪意誉橘请采纳。谢谢