Question

数学奥数难题

一只体力为23000的骆驼背着500根萝卜用100天时间翻越沙漠。骆驼每一天体力减少的数量等于身上背着的萝卜的数量，骆驼如果体力降为零时，骆驼就死了。骆驼还会每天吃5根萝卜，增加5体力。请问骆驼是在哪一天倒下的？

Answer 1

第n天开始时的体力为a(n)
第n+1天开始的体力为a(n+1)
第n天开始时，骆驼已经吃掉的萝卜数量为5(n-1)
还剩下萝卜的数量为 500-5(n-1) = 5(101-n)
那么就有
a(n+1) = a(n) - 5(101 - n) + 5
化简得到
a(n+1) - a(n) = 5n - 500
a(n) - a(n-1) = 5(n-1) - 500
a(n-1) - a(n-2) = 5(n-2) - 500
...
a(3) - a(2) = 5×2 - 500
a(2) - a(1) = 5×1 - 500
将上面的所有式子相加得到
a(n+1) - a(1) = 5[1+2+3+4+5+.....+n] - 500n = [5n(n+1)]/2 - 500n
a(n+1) = 2.5n^2 - 497.5n + 23000
这个就是每天还没开始走的时候骆驼还剩的体力，你可以带进去算，当n=0时，a(1)=23000，第一天刚开始还有的体力就是23000。
令f(x+1) = 2.5x^2 - 497.5x + 23000 = 0
2.5x^2 - 497.5x + 23000 = 0 两边同时除以2.5
x^2 - 199x + 9200 = 0
x^2 - 2(99.5)x + 99.5^2 = (x-99.5)^2 = 99.5^2 -9200 = 700.25
解得x = 99.5 - √700.25 ≈ 73.04 正号根舍去，因为在前一个较小的根对应的天数，骆驼就死了。
说明骆驼在第74天开始的时候，还是有体力的，但是到74天中途体力就完了，因此，骆驼是在第74天死的。
验算：
a(74) = 2.5×73^2 - 497.5×73 + 23000 = 13322.5 - 36317.5 + 23000 = 5
而这一天还剩下的萝卜数量为 500 - 73×5 = 135根，因此，骆驼在第74天中途就死了。