Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=4分之1x的平方在第一象限线内的图像上的任意一点

点A的坐标为（0,1），直线l过B（0,-1）且与x轴平行，过P作y轴平行线分别交x轴、L与C、Q，连接AQ交x轴与H，直线PH交y轴与R。求证：（1）H为AQ中点（2）四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形（3）除p外直线PH与抛物线有无其他公共点？说明理由

Answer 1

如图，

（1）设曲线y=x^2/4上的点P为P(a,a^2/4)

∵PQ∥y轴，BQ∥x轴，A=A(0,1)，B=B(0,-1)，∴Q=Q(a,-1)

AQ直线方程为：y-1=-2/a*(x-0)，即y=-2/a*x+1

y=0时，x=a/2，∴AQ与x轴的交点为H=H(a/2,0)

∵a/2=(a+0)/2，0=(1-1)/2，∴H为AQ的中点

（2）在四边形APQR上，显然PQ∥AR

PH直线方程为：y-0=(a^2/4-0)/(a-a/2)*(x-a/2)，即y=a/2*(x-a/2)

当x=0时，y=-a^2/4，∴PH与y轴的交点为R=R(0,-a^2/4)

AP斜率为：(a^2/4-1)/(a-0)=a/4-1/a

QR斜率为：(-1+a^2/4)/(a-0)=a/4-1/a

AP与QR斜率相等，∴AP∥QR，∴四边形APQR为平行四边形

|AP|=√[(a-0)²+(a^2/4-1)²]=√(a^2/4+1)²=a^2/4+1

|AR|=|-a^2/4-1|=a^2/4+1

|AP|=|AR|，∴平行四边形APQR为菱形

（3）将PH直线方程 y=a/2*(x-a/2) 代入曲线y=x^2/4，得

x^2/4=ax/2-a^2/4，即x^2-2ax+a^2=(x-a)²=0，解得x=a

∴直线PH与抛物线只有一个交点

希望对你有帮助