数学几何题
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠EAC,BE,CD交于点P。当∠BAD=90时,若∠BAC=...
已知△ABC,分别以AB ,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠EAC,BE,CD交于点P。当∠BAD=90时,若∠BAC=45,∠BAP=30,BD=2,求CD的长。
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解:
∵ AD=AB, AC=AE, ∠DAC=90°+45°=135°=∠EAB
∴ ⊿ADC ≌ ⊿ABE
则 ∠ADC=∠ABE
∴ ADBP共圆 (AP同侧张角相等)
则 ∠DPB=∠DAB=90° ; ∠BDP=∠BAP=30°, (同弧上圆周角相等)
∠ADC=45°-∠BDP=15°
∠PAC=∠BAC-∠BAP=45°-30°=15°
∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC=180°-15°-90°-45°=30°
DP=DB*con30°=2*√3/2=√3
根据正弦定理
DP/sin∠DAP=AP/sin∠ADC
AP=√3 / sin120° * sin15°=√3/sin60° *sin15°=2sin15°
AP/sin∠ACP=PC/sin∠PAC
PC=AP/sin30° * sin15°=2sin15° / 1/2 * sin15°=4sin²15°=2(1-con30°)
=2(1-√3/2)=2-√3
CD=DP+PC=√3+2-√3=2
∵ AD=AB, AC=AE, ∠DAC=90°+45°=135°=∠EAB
∴ ⊿ADC ≌ ⊿ABE
则 ∠ADC=∠ABE
∴ ADBP共圆 (AP同侧张角相等)
则 ∠DPB=∠DAB=90° ; ∠BDP=∠BAP=30°, (同弧上圆周角相等)
∠ADC=45°-∠BDP=15°
∠PAC=∠BAC-∠BAP=45°-30°=15°
∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC=180°-15°-90°-45°=30°
DP=DB*con30°=2*√3/2=√3
根据正弦定理
DP/sin∠DAP=AP/sin∠ADC
AP=√3 / sin120° * sin15°=√3/sin60° *sin15°=2sin15°
AP/sin∠ACP=PC/sin∠PAC
PC=AP/sin30° * sin15°=2sin15° / 1/2 * sin15°=4sin²15°=2(1-con30°)
=2(1-√3/2)=2-√3
CD=DP+PC=√3+2-√3=2
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