Question

已知定义域为R的函数f(x)=2^x-1/a+2^（x+1）是奇函数

（1）求a的值
(2)求证：f(x)在R上为增函数
（3）若对任意的t∈R，不等式f(mt^2+1)+f(1-mt)＞0恒成立，求m的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=(2^x-1)/[a+2^(x+1)]=(2^x-1)/[a+2*2^x]
f(-x)=(2^(-x)-1)/[a+2*2^(-x)]=(1-2^x)/[a*2^x+2]=-(2^x-1)/[a*2^x+2]
奇函数，∴f(-x)=-f(x) => -(2^x-1)/[a*2^x+2]=-(2^x-1)/[a+2*2^x]
∴[a*2^x+2]=[a+2*2^x]
a(2^x-1)=2(2^x-1)
∴a=2
(2) f(x)=(2^x-1)/(2+2*2^x)
求导得，
f'(x)=1/2*[ln2*2^x*(2^x+1)-ln2*2^x*(2^x-1)]/(1+2^x)^2
=ln2*2^x/(1+2^x)^2
∵ln2*2^x>0，∴f'(x)>0
∴f(x)在R上为单调增函数
(3) 对奇函数f(x)，不等式f(mt^2+1)+f(1-mt)＞0恒成立，
则f(mt^2+1)＞-f(1-mt)=f(mt-1)恒成立，
∵f(x)在R上为增函数，∴mt^2+1>mt-1，即mt^2-mt+2>0
mt^2-mt+2=m(t-1/2)^2+2-m/4
对以t为变量的二次曲线，欲使mt^2-mt+2>0恒成立
必有m>0，且2-m/4>0
解得 0<m<8

希望对你有帮助