Question

一道关于微分中值定理的题目

问题：
若方程a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x=0有一个正根，证明方程a0nx^(n-1)+a1(n-1)x^(n-2)+…+a(n-1)=0必有一个小于的正根。

Answer 1

令 f(x) = a0 x^n+a1 x^(n-1)+…+a(n-1) x, f '(x) = a0nx^(n-1)+a1(n-1)x^(n-2)+…+a(n-1)
f(0) = 0, 已知存在 c >0, 使得 f(c) = 0
f(x) 在 [0,c]上满足罗尔中值定理，
故存在 一点 ξ∈(0,c), 使得 f '(ξ) = 0
即证。