Question

已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点

xiexie

Answer 1

给一点点建议，若f(x)在x=0处取极值，则有f'(0)=0；
x=0是f(x)的极小值点，则需满足如下两个条件：
f'(x)>0,当x>0时；即当x>0时，函数f(x)是增函数；
f'(x)<0,当x<0时；即当x<0时，函数f(x)是减函数；
由已知f(x)对一切x满足xf(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)成立，有：
当x>0时，xf‘(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)>0
当x<0时，xf’(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)<0
由上两个条件计算出f‘(x)的取值范围即可证明。